Le microscope/télescope pure apriori de Poincaré , né de l’"infirmité de nos sens" incapables de se servir de son impossible version apostériori, n’a pas tardé à se transformer en un engin réel dans l’imagination déchaînée de Richard Feynmann (l'un des physiciens de l'équipe de Oppenheimer à Los Alamos Projet Manhattan 1942-1945 USA) et en conséquence de toute la pédagogie de la science en Occident, qui actuellement remplit nos textes de dessins rigoureusement paralogiques (cf.Humpfreys 1999 et Scerri 2000 ), qui incessamment projectent des macro-corps externes (sous forme de sphères dont un nombre-puissance déclare la petitesse extrême) soit à l'intérieur de ces mêmes macro-corps, soit dans l'espace celeste.
« LA MATIERE EST FAITE D'ATOMES - Si, dans un cataclysme, toute notre connaissance scientifique devait être détruite, et qu'une seule phrase passe aux générations futures, quelle affirmation contiendrait le maximum d'information dans le minimum de mots? Je pense que c'est l’hypothèse atomique (ou le fait atomique, ou tout autre nom que vous voudrez lui donner) que toutes les choses sont faites d'atomes - petites particules qui se déplacent en mouvement perpétuel, s'attirant mutuellement à petite distance les unes des autres et se repoussant lorsqu'on veut les faire se pénétrer. Dans cette seule phrase vous verrez qu'il y a une énorme quantité d'informations sur le monde, si on lui applique simplement un petit peu d'imagination et de réflexion (Feynmann, 1999, p.13)
Fig. 1-1. Eau agrandie un milliard de fois.
Pour illustrer la puissance de l'idée atomique , supposez que nous ayons une goutte d'eau d'un centimètre de coté. Si nous la regardons de très près nous ne voyons que de l'eau — d'apparence homogène et continue. Mème si nous agrandissons avec le meilleur microscope optique utilisable — approximativement de deux mille fois — alors la goutte d'eau sera à peu près large de 20 mètres et aura la dimension d'une grande pièce, et si nous regardons à nouveau de très près, nous verrons encore de l'eau relativement uniforme — mais ça et là de petites choses en forme de ballon de football nageant de-ci de-là. Très intéressant. Ce sont les paramécies… ( Feynmann, R. (1999) Le cours de Physique de Feynmann – Mécanique 1 – Dunod : Paris)
Ce même Microscope Magique apparaît desormais partout , à côté A) des dessins étonnats qui montrent les petites sphères chaotiques que nous verrions si nous pouvions le réaliser, et B) de la précision poincariste qu'une pareille technologie est en réalité impossible à réaliser, même en principe .
Inizieremo ad esporre alcune considerazioni di carattere qualitativo, descrivendo i fenomeni che si manifesterebbero se noi potessimo studiare i corpi mediante un “microscopio ideale” che consentisse di osservare addirittura le molecole e gli atomi stessi che costituiscono la materia. É tuttavia opportuno sottolineare a questo punto che ciò non è in realtà fattibile ; anche con i più moderni microscopi a nostra disposizione, siamo ancora ben lungi dal riuscire ad osservare fenomeni in una scala così piccola; pure con un microscopio che ingrandisse gli oggetti di un miliardo di volte (un tale ingrandimento sarebbe necessario se volessimo esplorare la materia al livello atomico, incontreremmo difficoltà non sormontabili nemmeno in linea di principio (come lo studente apprenderà dai cenni di fisica moderna che gli saranno presentati in seguito), che renderebbero irrealizzabile il nostro desiderio. In realtà, i fenomeni atomici o, come si suoi dire, il mondo microscopico , sono regolati da leggi molto diverse da quelle della meccanica di Newton e dell’elettricità di Maxwell, e di esse non è qui possibile parlare . Questa circostanza è stata menzionata solo affinché lo studente tenga sempre presente che, a seconda del livello a cui si desiderano studiare i fenomeni fisici, occorre far ricorso a particolari modelli, la cui validità non può ritenersi assoluta, ma è legata alla particolare classe di fenomeni in istudio. […] Supponiamo dunque di osservare con il nostro superpotente microscopio una goccia d’acqua immobile su un piano. Resteremmo subito attoniti, vedendo che in realtà le molecole d’acqua sono in realtà animate da un caotico e frenetico moto a scatti in tutte le direzioni, attraverso la regione di spazio che noi sappiamo essere occupata dalla goccia e con diverse velocità . [De Luca/Ricciardi/Caianiello, Fisica Milano: 1970].
Après avoir réalisé la tâche impossible de pénetrer à l'intérieur des macro-corps jusqu'aux très petites macro-sphères qui s'agitent à leur intérieur, le macro-corps de provénance (ci-dessous un cube de sel) est à son tour projeté parmi ces mêmes micro/macro-sphères, à l'intérieur tant de soi même que des micro/macro corps qui à la fois - donc - l'habitent et l'entourent.
Une fois cette magie accomplie, le tout est projeté dans le Ciel, qui en même temps nous habite et nous entoure.
- NOTRE VUE DE L'UNIVERS - Actuellement nous considérons la matière comme composée d'une poignée de particules fondamentales (ou élémentaires) et tous les corps, qu'ils soient vivants ou inertes, comme formés également de la réunion et de l'arrangement de telles particules.[...] Le système solaire est un ensemble de plusieurs corps énormes, appelés planètes, qui tournent autour d'une étoile, appelée le soleil. Une de ces planètes est notre terre, qui contient environ IO51 atomes. Le soleil est compose d'environ IO57 atomes.
Fig. 1-5. Structure cristalline du chlorure de sodium. Les atomes sont disposés dans un réseau géométrique régulier qui s'étend sur un volume relativement grand. Cette structure se retrouve dans l'aspect extérieur du cristal macroscopique. [...] Fig. 1-6.La grande nébuleuse d'Andromede, appelée aussi M-31. Cest la plus proche des grandes galaxies normales.
Le système solaire à son tour est une petite partie d'un très grand agrégat d'étoiles qui forment une galaxie appelée la Voie Lactée, composée d'environ 1011 étoiles ou 1070 atomes. [...] L'univers contiendrait approximativement 1O20 étoiles groupées dans environ 1010 galaxies et contenant un total d'environ 1080 atomes dans une région dont le rayon est de l'ordre de grandeur de 1026m ou encore de 1010 [M.Alonso/E.Finn – Physique Générale, Paris 2001]
Dans cette "vue de l'univers" - qui est en réalité, en termes piagétiens, un dessin synchrétique de l'univers ce processus de solidification qui tant chez Piaget que Poincaré est à la racine et la structures fondamentale de la formation d'un système mental et scientifique cohérent et cohésif, devient le plus abusé des escamotages explicatifs.
On voit alors des PETITS CORPS SOLIDES partout, car on voit tout comme un agrégat de PETITS CORPS SOLIDES.
Les solides , les liquides , les gaz... et finalement les nombres se présentent sous cette forme synchrétique omniprésente,tant à nos sens qu' à notre Sinn - c'est à dire à notre globale capacité de saisir le sens de ce qui se manifeste, car cet archétype fondamental de notre époque ne se borne aucunement à véhiculer des exemples ou des "métaphores", mais il arrive bien plus profondement à diriger la compréhension de base des entités mathématiques les plus élementaires et évidentes.
La dernière image à droite ci-dessus pourrait être dite une "métaphore" si sa force archétypique n'arrivait pas à imposer à l'évidence d'une OPERATION ARITHMETIQUE élémentaire le trait du NON-SENS à côté de celui de la "convention"
Sur la base de cette définition de puissance, l’écriture a1 serait DEPOURVUE DE SENS ; on pose alors par convention que cette base est égale à a, à savoir a1 = a. EXPLICATION - Nous connaissons la propriété des puissances selon laquelle le quotient de deux puissances d’égale base est une puissance qui a la même base, et comme exposant la différence entre les exposants. A savoir : an : am = an-m. Etant donnée cette propriété, il s’ensuit que an+1:an= a1. Mais an+1: an = (a·a·a·a...·a) : (a·a·a...·a) = a. La convention a1 = a est donc justifiée .[Chiellini/Santoboni, Elementi di Algebra secondo la teoria degli insiemi. 1981]
Ce que Poincaré n'aurait jamais fait, est de proposer un NON SENS là où il refuse même le status de "convention", à savoir lorsque il s'agit de rien de moins que de la deuxième application (la première étant a0=1) de cette INACCESSIBLE "puissance créatrice de notre esprit" qui engendre de son sein la suite infinie des nombres naturels.
De même pour Jules Barthelemy Saint Hylaire il faut nécessairement que quelque corps réel se meuve, même si Aristote ecrit tout simplement ti [=quelque chose] kineïtai [=bouge] de même pour Marcelo Alonso et M.Fynn si dans une grosse boîte en métal sous pression magnétique "quelque chose bouge" en laissant des traces derrière son mouvement ceci est l'"épreuve de l'existence" d'un micro-corps contenu dans le macro-corps de la boîte:
Fig. 1-1. (a) Traces de particules élémentaires dans une chambre à bulles à hydrogène liquide de 80 pouces (2m), placée dans un champ magnetique fort qui oblige les particules chargées à suivre des trajectoires courbes . On analyse ces traces et d'après cette analyse on en déduit les propriétés des différentes particules. Cette photographie, prise en 1964, est historique. Elle apporta la première preuve de l'existence de la particule omèga moins. Existence qui avait été predite auparavant par la théorie. (b) Le diagramme indique les événements les plus importants enregistrés sur la photographie. La trace du Q est le court segment vers le bas de la figure. Les particules correspondant aux autres traces ont été également identifiées.
De cette même façon, Edoardo Amaldi [ 1937, Italie ] remplit le vide qui sépare l' "état d'éléctrisation" d'un macro-corps en mouvement (comme un pendul oscillant) et le mouvement d'une "charge éléctrique puntiforme placée dans le vide" grâce un dessin à la Feynmann:
L’ambre, l’ébanite, le verre etc., lorsqu’ils sont frottés avec un chiffon de laine, acquièrent la propriété d’attraire des corps légers comme par exemple des morceaux de papier. Pour tendre telle attraction plus facilement observable, on peut se servir d’une petite balle très légère, par exemple de sambuque, attachée à un fil de soie (figure 3.1). On dit d’une baguette de ébanite, ambre, verre etc. ayant ainsi acquis la propriété d’attraire des corps légers, qu’elle est chargée d’électricité, ou électrifiée.
Pour reconnaître l’état d’électrisation d’un corps on utilise souvent, à la place du pendule décrit ci-dessus, un outil très simple, qui s’appelle électroscope à feuilles. […] Si un corps chargé d’électricité est mis en contact avec l’extrémité supérieur de la baguette de l’électroscope, les deux feuilles en sont chargées d’électricité du même signe, et se repoussent.
(Electroscope muni d’une échelle, qui permet de confronter les déviations subies par les feuilles lorsque des charges différents sont communiquées à leur support)
Nous voulons maintenant montrer que l’état d’électrification d’un corps peut être attribué à une charge électrique ou quantité d’électricité, qui satisfait le conditions nécessaires est suffisantes pour être traitée comme une nouvelle grandeur physique. Ces conditions, façonnées par analogie à celles posées par Euclide à la base de la théorie de la mesure des segments, sont les suivantes : I Il faut fixer un critère grâce auquel il est possible vérifier expérimentalement si deux charges électriques sont égales ou différentes, et dans ce cas quel est le sens de l’inégalité II On doit disposer d’une méthode qui permette de diviser en parties égales, grâce à des opérations physiquement réalisables, une charge électrique. IIIOn doit choisir, une fois pour toutes, une charge électrique, reproduisible exactement grâce à des opérations physiquement réalisables, comme échantillon ou unité de mesure.
De cette façon, il est possible de faire correspondre à une quelconque charge électrique un nombre , déterminable grâce à des opérations physiquement réalisables, qui exprime la mesure de la charge par rapport à l’unité de mesure adoptée.
Considérons maintenant des conducteurs: pour bien fixer les idées nous prenons deux sphères de métal, dont chacune est fixée sur un support isolant, par exemple un fil de soie. Appelons-les A et B. Imaginons de réaliser l’expérience suivante. 1 On charge la sphère A avec un morceau d’ébanite frotté. Pour vérifier son état d’électrification, mettons-la en contact avec l’électroscope : indiquons avec a le nombre de divisions couvertes par la déviation des feuilles. 2 Après avoir vérifié que la sphère B n’est pas chargée, mettons-là en contact, pour un instant, avec la sphère A 3 Mettons à nouveau en contact la sphère B avec l’électroscope. On aura une déviation de b divisions, ce qui montre que la sphère s’estdonc chargée par contact. 4 Mettons maintenant la sphère A en contact avec l’électroscope : nous observons que ceci dévie de c divisions, et que c est inférieur au nombre de divisions observé avant que A entre en contact avec B.
On interprète cette expérience en disant que la charge électrique initialement possédée par la sphère A, s’est distribuée entre les sphères A et B à l’instant où elles sont entrées en contact.
5-La charge électrique inconnue Q se divise exactement en deux , lorsque la sphère A est mise en contact avec la sphère B, identique à A et initialement déchargée. Après le contact, chacune des deux sphères a une charge électrique égale à Q/2. 6-La loi quantitative de la force avec laquelle deux corps chargés d’électricité s’attirent est la Loi de Coulomb. Dans la Loi de Coulomb, apparaît une nouvelle entité physique : LA CHARGE ELECTRIQUE, pour laquelle nous devons fixer une unité de mesure. 7-La Loi de Coulomb nous permet de calculer la force qui s’exerce entre DEUX CHARGES PUNTIFORMES placées dans le vide à une certaine distance l’une de l’autre. [Edoardo Amaldi Fisica generale , Bologna 1937]
Une synopsis:
En 4- une méthode euclidienne de mesure devient une "charge électrique" qui est vite dessinée sous forme de six petites croix à l'intérieur de cette même sphère . En 5- "La charge électrique se divise" et les petites croix se distribuent. En 6- les petites croix acquièrent le status ontologique d'une "nouvelle entité physique" En 7- la "nouvelle entité physique remplace la sphère de métal dans laquelle nous l'avons déssinée, pour dévenir un "corps puntiforme" placé dans le vide.
... et finalement voilà ci-dessous l'aspect (en computer/graphic) du nouveau-né de notre physique rigoureusement - et surtout explicitement - paralogique, conventionnelle, et "DEPOURVUE DE SENS".
Avec la même facilité et "commodité" expressive et logique qui fait apparaître des petits micro-corps solides dessinés à l'intérieur des macrocorps qui seront vite dessinés à leur tour parmi les microcorps qui les habitent, et qui fait apparaître ces mêmes micro-macro corps solides et "puntiformes" "dans le vide" , la où il n'y aurait que la mesure euclidienne d'une "meghethos" (grandeur) ou dans des diagrammes de Euler/Venn, là où il n'y aurait que des symboles numériques... avec cette même facilité et commodité, ces mêmes micro-macrocorps solides se dissolvent, évaporent, disparessent dans l'espace incompréhensible des "vecteurs", où d'un coup une voiture qui tourne en rond devient sous nos yeux étonnés une vitesse qui tourne
:
La voiture qui vient de se dissoudre dans le vide de l'espace vectoriel, réapparaît dans le texte (et l'image) qui suit, sous forme d' un éléctron qui se redissout chez Werner Heisenberg [1933-45, Kaiser Wilhelm Institut de Berlin] en une NUAGE... de PROBABILITES. Avec le même mouvement logique de Feynman l'auteur du texte ci dessous nous propose la PHOTO tecniquement impossible d'un système de microcorps solides qui évaporent dans un gaz purement mathématique, naturellement composé par des peits solides qui n'ont rien de gazeux ni de mathématique
.Vous êtes fan de formule 1, et plus particulièrement de Schumacher. Lors du grand prix de France, vous réservez une place dans une tribune face à la grande ligne droite, où les voitures déboulent à près de 300 km/h. Vous avez bien évidement amené avec vous votre APPAREIL DE PHOTO, appareil vous permettant de choisir manuellement le temps de pose. [...] Vous réglez le temps de pose sur une valeur très brève, 1/1000° de seconde par exemple. La Ferrari arrive, vous appuyez et hop, vous développez la photo. Cette fois ci, vous obtenez une Ferrarie extrèmement nette, placez avec précision sur la piste. Vous connaissez donc sa position avec une extrème précision. Par contre, vous êtes dans l'impossibilité de connaître son mouvement. Est-elle immobile ou avance t'elle? En regardant la photo uniquement, vous ne pouvez absolument pas le savoir. Et si elle avance, dans quelle direction? Tourne t'elle? A quelle vitesse? Il vous est impossible, par la seule étude de la photo, de répondre. Ainsi, avec votre appareil, vous ne pouvez pas connaître à la fois la position et le mouvement de la voiture. [...] Mais alors? Il suffit de prendre 2 appareils photo, avec 2 temps de pose différents, me direz-vous. Eh bien c'est un peu les limites de cet exemple : vous n'avez pas le droit de prendre 2 appareils photos. Le principe d'incertitude, c'est pareil : ou vous connaissez avec précision la position de votre particule, ou vous connaissez son mouvement. Mais vous ne pourrez jamais connaître exactement les 2 . De là, pas de prévisions possibles, QUELQUE SOIT LES TECHNIQUES UTILISEES . Si vous avez compris cela, vous avez saisi les base de la physique quantique. En physique quantique, on ne parle donc qu'en terme de probabilités d'existence . Et les électrons ne se situent plus sur une orbite, mais FORMENT un NUAGE DE PROBABILITE. Plus le nuage est dense, plus vous avez de chance d'y trouver un électron. Et même si vous le trouvez, vous êtes incapable de prévoir où il sera l'instant d'après.[ www.astrosurf.com/trousnoirs/quanta.html
Nuage électronique de l’atome d’hydrogène. La probabilité de trouver l'électron en une zone de l'espace est représentée en niveaux de gris. Plus on s'éloigne du noyau, plus la probabilité devient faible, mais non nulle. [© CNRS - R. Bichac http://www.cnrs.fr/sciencespourtous/abecedaire/pages/heisenberg.htm]
Tout ce qui précède nous donne l'évidence expérimentale de la la présence agissante de ce que j'appelle le champ de précompréhension archétypique qui dirige tant la façon dont notre époque engendre sa compréhension originaire des objets de la science, que la façon dont - en conséquence - elle s'organise pour la transmettre aux nouvelles générations.
Avec champ de précompréhension archétypique j'entend les répères interprétatifs qu'une époque se donne pour axiomatiser le Sens de tout ce qui existe, à partir des évidences les plus incontournables que notre esprit connaisse, à savoir les évidences apriori des mathématiques.
En effet, si l'action de cette force profonde qui dirige notre sentiment des choses est certainement bien visible dans l'ensemble des paralogismes que j'ai pris en examen jusqu'ici, sa présence se rend expérimentalement incontourable dans le cas de la notion mathématique de puissance. la confrontation avec une évidence mathématique à la fois absolue et incompréhensible devrait rebondir le scientiqfique sur le sens qu'il attribue au objets sur lesquels il opère, et sur les sens des opérations qu'il met en place.
Si par contre le même scientifique qui constamment repète que nos "termes indéfinis" ("ensemble", "nombre"...) sont "vagues" et "nébuleux", ou trop "philosophiques" , en ce qu'ils ne sont pas doués d'une identité opératoire assez solide (on va voir cela tout de suite)... une fois confronté à une opération élementaire et indiscutable de l'arithmétique de base comme a1 décide que c'est ELLE - l'OPERATION en son évidence - qui est DEPOURVUE DE SENS , et non pas notre vague et nébuleuse compréhension su sens des nombres et des opérations, ce double repoussement du sens d'un terme indifini d'un côté et d'une opération de l'autre côt, distille expérimentalement la présence d'un champ de précompréhension du sens qui préalablement impose sa règle à tout ce qui se présente à la surface de la science.
Or à ce champs archétypique correspond une certaine athmosphère culturelle, faite à la fois de moquérie/rigolde et de tragédie/angoisse/haine
.Pendant les années ‘60/’80 une importante « vague didactique » a décidé la puissante pénétration des « mathématiques modernes » dans l’enseignement occidental du premier/deuxième cycle. Dès lors, le langage, les méthodes et les opérations des mathématiques cantor/russelliennes non seulement ont constitué des nouveaux contenus à apprendre, mais ils ont aussi façonné les représentations imaginatives fondamentales pour l’enseignement des mathématiques en général, et donc aussi de l’arithmétique de base. Une issue éminente de cette traduction didactique des outils formels et des conceptions théoriques les plus abstraites que les mathématiques aient connu, a été ce type de représentation :
Il s’agit de l’image de l’addition arithmétique 3+4 = 7 « selon la théorie ensembles », dans laquelle les cercles A et B sont censés représenter le deux « ensembles » 3 et 4 unifiés par l’opération d’ union.
La voix APPAREMMENT POINCARISTE de la "commodité" accompagne toujours les textes de cette période. "Apparemment", car l'intention didactique et pédagogique chez Poincaré accompagnait le "principe de commodité" resta toujours ancrée au principe génétique du contraste e la "contradiction intolérable" qui, seuls, peuvent expliquer l'origine, et donc la nature [cf.Poincaré] des réalités scientifiques fondamentales, tandis quela totalité des auteurs qui utilsent la "commodité et l'idée d'une genèse expérimentale ne le font au contraire que pour apprivoiser l'étudiant et passer outre:
Qualche volta RISULTA COMODO rappresentare graficamente un insieme. Due sono le rappresentazioni più usate. Mediante regioni piane limitate da curve non intrecciate dette diagrammi di Eulero. Questa rappresentazione è molto efficace ed espressiva quando non è necessario specificare la natura degli elementi dell’insieme, ma solo affermarne l’esistenza; talvolta, se l’insieme è finito, dentro il diagramma si segnano dei punti o delle crocette che ne rappresentano gli elementi. [Chiellini/Santoboni,Elementi di Algebra secondo la teoria degli insiemi , Torino1980]
Un exemple pris de la Physique actuelle:
Considérons une force F agissant sur un corps C qui peut tourner autour d’un point O. [...] Par exemple, quand nous ouvrons une porte, nous poussons ou nous tirons toujours le plus loin possible des gonds et nous essayons de maintenir perpendiculaire à la porte la direction suivant laquelle nous poussons ou tirons. CETTE EXPERIENCE NOUS SUGGERE DONC QU’IL EST COMMODE de définir une grandeur physique tau, qu’on appellera moment, par l’expression: tau= Fb ou moment = force × bras de levier. [M.Alonso, E.J.Finn, Physique Générale, aris 2001]
On voit que dans ce type de traduction didactico/imaginative, les « objets bien distincts » [ wohlverschiedene Objecten] que selon Cantor notre faculté de penser [Denkensvermögen] activement réunit en un seul tout, deviennent des agrégats d’objets concrets déjà logiquement homogènes et déjà préalablement réunis dans un périmètre géométrique commun . Les trois cercles euclidiens A, B et C sont censés être la traduction pédagogique en même temps des diagrammes que John Venn avait introduit pour réaliser sa « very important departure from the eulerian conception » visant les classes plutôt que les propositions, et aussi de ces « espaces » qu’ Euler considérait des « secours merveilleux" [pour] "exprimer visiblement à la vue" [ces] "opérations de l’âme" que "l’on nomme propositions" » .
Si d’ailleurs le désaccord entre Euler et Venn (classes contra propositions) se dissout dans le nom même de ces outils didactiques et pragmatiques (les « diagrammes de Euler-Venn ») leur accord aussi n’est pas pris en compte. Ni John Venn ni Léonard Euler auraient en effet placé dans leur diagrammes des objets qui ne soient rigoureusement des symboles , tandis que cette allure didactico/pragmatique a enfin décidé d’ appuyer l’apprentissage de l’addition, de la soustraction et des autres Denkenvermögens – ou, comme Euler le dirait, des autres « opérations de l’âme » – arithmétiques, sur ce type de représentation réifiante et purement imaginative.
Or cette réifiante traduction didactique de la théorie des ensembles et de la topologie de la pensée logique, est bien protégée par l’ attitude à la fois de moquerie et d’aversion qu’une masse de mathématiciens, scientifiques et épistémologues de la deuxième moitié du XX siècle ont assumée envers toute forme de questionnement rigoureux sur la nature des objets enquêtés, jusqu’à considérer les mots de Georg Cantor même comme trop « philosophiques » à savoir inutiles et sans intérêt, et le "principe" de la "COMMODITE" de Poincaré s'est finalement transformé dans l'ANITHING GOES d'un nihilisme épistémologique effreiné
«Cantor donne une définition du concept de ensemble que l’on peut appeler euclidienne, à savoir une définition qui devrait se trouver soit dans un dictionnaire linguistique soit dans un livre de philosophie , plutôt que dans un livre de mathématique. [...] Les essais de présenter l’idée d’ensemble et d’élément d’un ensemble ne se sont encore pas conclus, ou de moins il ne se sont pas conclus avec un accord de majorité de la parts des plus célèbres spécialistes. Or justement pour cette raison nous prendrons la liberté d’élargir l’idée d’ensemble [T.Viola Introduzione alla teoria degli insiemi, Torino: Boringhieri 1974]»
Lorsque le mépris n’atteint pas ces sommets, l’attitude demeure celle d’un désengagement radical, où l’ « informal approach » coïncide avec une moquerie tant légère que définitive quant à son effet de dissuasion, comme c’est le cas de M.Hernstein :
« L’utilisation de l’adjectif “abstrait” est tout à fait subjectif. Ce qui est abstrait pour quelqu’un, peut être très concret pour quelqu’un d’autre . Par rapport à ce que l’on fait aujourd’hui en algèbre, notre exposition peut être définie « abstraite, mais pas trop », tandis que ceux qui ont suivi un cours de calcul, et voient ces choses pour la première fois, on peut dire qu’elle est « assez abstraite ». […] Nous ne donnerons pas une définition formelle de « ensemble » […] Pour ceux dont le goût tend vers un langage plus formel et abstrait, nous dirons que celle d’ « ensemble » est une notion primitive et indéfinie[I.N.Herstein, Topics in Algebra, Roma: Editori Riuniti, 1982 »]
Ainsi parlait Israel N. Hernsetin à Cornelle en 1964 à propos de son critère d’abstraction en Algèbre, tandis que l’image du physicien proposée par le Californian Institute of Technology en 1963 avait l’aspect de la célèbre version « bongo player » spécialement aimée et diffusée par Richard Feynmann en personne et par ses collègues
Par contre, du côté l’epistémologie, la voix de Brekeley atteignait son sommet le plus lumineux avec le « tout est bon » – anything goes – de la rigolade dadaïste de Paul Feyerabend :
Tandis que l’anarchiste politique ou religieux veulent abolir une certaine forme de vie, l’anarchiste épistémologique peut désirer de la défendre, puisqu’il n’a aucun sentiment éternel de fidélité ou d’aversion envers aucune institution ou idéologie. Comme le dadaïste, auquel il ressemble bien plus qu’il ne ressemble à l’anarchiste politique, non seulement il n’a pas de programme, mais il est contre tout programme, même si le cas échéant il sera le plus enflammé des défenseurs du statu quo, ou de ses ennemis. «Pour être des vrais dadaïstes il faut être anti-dadaïstes ». Ses objectifs demeurent stables, ou changent seulement en conséquence du raisonnement, ou de l’ennui, ou d’une expérience de conversion, ou du désir d’impressionner sa maîtresse etc. [P.Feyerabend, Contre la Methode ]
Ce rire moqueur d’outre-atlantique, devient la raillerie sombre de l’une des voix européennes les plus écoutées de cette croisade contre la rigueur méthodique de l’expression, qui ainsi retentissait à Paris VIII, où les "deux étérnités de mort" de Poincaré ont pris l'aspect sombre d'un unitaire et cohérent abîme de haine, tandis que son questionnement génétique s'est transformé en une généalogie dépourvue de toute rigueur et de toute pudeur:
«Or, si le généalogiste prend soin d’écouter l’histoire plutôt que d’ajouter foi à la métaphysique, qu’apprend-il ? Que derrière les choses il y a « tout-autre chose » : non point leur secret essentiel et sans date, mais le secret qu’elles sont sans essence, ou que leur essence fut construite pièce à pièce à partir de figures qui lui étaient étrangères . La Raison ? Mais elle est née d’une façon tout à fait « raisonnable » - du hasard . L’attachement à la vérité et à la rigueur des méthodes scientifiques ? De la passion des savants, de leur haine reciproque , de leurs discussions fanatiques et toujours reprises, du besoin de l’emporter [M.Foucault, Nietzsche, la généalogie, l’histoire en Hommage à J. Hippolite PUF 1971 p.148] »
Je considère évident que les deux dernières affirmations ne peuvent que se taire devant le simple phénomène des mathématiques, ainsi que Kant l’affirme à propos des limites du scepticisme humien :
« D’après ses raisonnements [de Hume] tout ce que nous nommons métaphysique aboutirait à une pure illusion d’une prétendue saisie rationnelle de ce qui est en fait seulement emprunté à l’expérience et a pris de l’habitude l’apparence de la nécessité. Hume n’en serait jamais venu à cette affirmation, destructrice de toute philosophie pure, s’il avait eu devant les yeux notre problème dans sa généralité, car il aurait alors vu que, d’après son argument, il ne pouvait y avoir non plus de mathématique pure, puisque celle-ci contient certainement des propositions synthétiques apriori, et il avait assez d’esprit pour se garder d’une telle affirmation »
L’idée que la démonstration que le carré de l’ hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés se fonde sur la haine de Pythagore pour ses collègues ou sur son désir d’impressionner sa maîtresse, ne peut être intéressante que pour l’historien de la culture, qui doit se demander qu’est ce qui a pu produire une telle dose d’ hostilité aux évidences de la science, : car ce que l’épistémologue indifférent à toute responsabilité directement opératoire exprime d’une façon aussi enflammée, se traduit dans les textes de la « science normale » en une absence presque absolue de tout souci de rigueur logico/métaphysique du discours.
Le petit Marcel qui se reveille au milieu de la nuit plus dénué que l’homme des cavernes" réalise selon S.Deahene son vrai destin philogénétique:
A l’école élémentaire, nos enfants apprennent les mathématiques modernes avec un cerveau initialement destiné à la survie dans la savane africaine. […] Notre cerveau ne contient pas d’unité arithmétique génétiquement programmée pour les nombres et les mathématiques. […] Les objets culturels que sont les mots et les nombres viennent donc parasiter des systèmes biologiques au destin initial différent. Parfois, comme dans le cas de la lecture des mots, le parasite est tellement envahissant qu’il remplace purement et simplement la fonction antérieure. […] Si mon hypothèse de travail est juste, le cerveau humain possède un mécanisme d’appréhension des quantité numériques, hérité du monde animal, et qui guide son apprentissage des mathématiques.[Dehaene,S.(1997b), p. 46, et 10-11 (les mots en italique sont à moi)]
Un mécanisme ne peur guider nullepart, car un mécanisme se borne à tourner. Quant à la délimitation effective du phénomène, à l'intérieur du fait d’un enfant qui apprend les additions à l’école élémentaire nous ne trouvons que ce même fait, qui ne nous dit rien sur le destin de l’enfant en question, en dehors de tout événement qui ne se soit déjà produit. Le fait que cet enfant apprenne à lire en ti ne signifie donc aucunement qu’en un quelconque tj précedent à ti ses parties matérielles y étaient destinées.
Du point de vue ontogénétique donc , nous savons uniquement que pendant cette période cet enfant est à l’école, et qu’il y apprend à reconnaître et à enchaîner des objets graphiques en en faisant des symboles/opérations, et de même ce simple fait ne nous dit aucunement que le "destin initial" de son cerveau était l’école, de même le fait que cet enfant se trouvait, en tn<0 dans le ventre de sa mère ne signifie aucunement que son cerveau était "destiné" à la placenta.
A fortiori, du point de vue phylogénétique il ne faut pas confondre le fait de la savane (qui ne concerne que les singes présent et certains hominides du passé) avec le destin de la savane : les ancêtres de cet élève de CP1 était des sauvages, mais : 1) ils ne font pas partie de notre phénomène ; 2) nous savons uniquement qu’ils étaient – avec leur cerveau – dans la savane, et non pas que la savane était le destin de ce même cerveau. La consistance évolutionniste/évolutive du cerveau de notre enfant en CP1 est une acquisition fondamentale, et il faut donc en garder la pureté heuristique, en évitant soigneusement de faire coïncider son affirmation générale avec celle d’une sous-théorie, même si très diffusée, comme l’est la théorie de Darwin :
[Le cerveau] représente l’aboutissement d’une encore plus longue évolution biologique gouvernée par les principes de la sélection darwinienne …
Que les principes darwiniens de l’évolution gouvernent la phylogenèse de notre cerveau, cela n’est qu’une sous-théorie engendrée par la perspective évolutionniste, et le fait que cette même sous-théorie exclue catégoriquement le destin initial dont Dehaene parle, nous signale le danger qui menace l’enthousiasme engendré par cette dimension interdisciplinaire de la recherche, qui met les neurosciences et les sciences exactes devant le fait de l’ indéniable provenance génétique tant du cerveau du mathématicien, que de son mental, que des signes qu’il utilise pour éduquer tant l’un que l’autre. Notre enfant est à l’école, il s’applique, il étudie, et finalement il apprend à lire et à faire des additions : il n’a jamais dû survivre dans la savane, et nous ne savons rigoureusement rien de son destin, ni du destin de son cerveau.
Le petit Marcel qui se reveille au milieu de la nuit et entend "le sifflement des trains qui, plus ou moins éloigné, comme le chant d’un oiseau dans une forêt, relevant les distances, me décrivait l’étendue de la campagne déserte" a à faire, selon Dehaene, à ses "circonvolution cérébrales" et non pas au "fil des heures, l’ordre des années et des mondes" qu'il tient en cercle autour de lui"
Notre singularité, pensez- vous peut être, réside dans la faculté d’utiliser les symboles arbitraires comme les mots ou les chiffres arabes. Nos symboles sont des éléments discrets et susceptibles d’une manipulation purement formelle. […] Contrairement aux autres espèces animales, l’invention des symboles numériques que sont les chiffres arabes nous aurait libérés de l’emprise de la représentation quantitative des nombres. Ces intuitions sont pourtant trompeuses. Car si les symboles numériques nous ouvrent effectivement la voie à une arithmétique plus rigoureuse, il ne sont pas pour autant détachés des racines approximatives de l’intuition numérique . Bien au contraire, chaque fois que nous sommes confrontés à un nombre, notre cerveau ne peut s’empêcher de le traiter comme une quantité continue, et de le représenter mentalement avec une précision décroissante, presque comme le feraient un rat ou un chimpanzé. Cette traduction des symboles en quantités impose un coût important et mesurable à la vitesse de nos opérations mentales. D’où vient donc cet EFFET DE DISTANCE ? En apparence, les chiffres 4 et 5 ne se ressemblent pas plus que les chiffres 1 et 5. La difficulté de décider si 4 est plus petit ou plus grand que 5 n’a donc rien à voir avec un quelconque problème de reconnaissance visuelle du chiffre 4. Visiblement, le cerveau ne s’arrête pas à la forme des chiffres […] Il y a quelque part dans nos circonvolutions cérébrales une représentation des nombres sous forme de quantité continues, similaire à celle que possèdent les animaux, et c’est cette représentation quantitative que nous nous empressons de réactiver dès que nous voyons un chiffre ou un nom de nombre » (85) […] La seule explication concevable c’est que LE CERVEAU appréhende le nombre de deux chiffres dans son intégralité et le transforme en un quantité interne quasi continue »(Dehaene, 1997 p. 83).
PREMIEREMENT - La "seule explication concévable" devrait avant tout se ténir au phénomène,lequel de même n'a pas lieu dans la savane, de même n'est pas un épisode de "neuro-science fiction" où UN CERVEAU - sans un homme autour de lui - "appréhende le nombre"
DEUXIEMEMENT - Cette explication est incompatible avec des phénomèenes arithmétiques comme les critères de divisibilité et l' épreuve par neuf, car si l’identité quantitative d’un nombre coïncidait avec la taille de la quantité que nous lui faisons correspondre un phénomène comme l’épreuve par neuf serait impossible. :
812 x457=371.084 Epreuve par neuf: 812=8+1+2 = 11 = 1+1 = 2 457=4+5+7 = 16 =1+6 = 7 7 fois 2 =14=1+4=5 371084= 3+7+1+8+4 = 23= 2+3 = 5
Il est évident que dans l’épreuve par neuf d’une multiplication, nous exécutons des additions entre les nombres qui composent ses deux facteurs, au sein desquelles la taille des quantités numériques concernées n’a aucune importance. En effet, si l’opération d’addition indiquée par le symbole « + » signalait en tant que telle le phénomène d’un entassement, l’addition des nombres 8,1,2 qui – selon un rapport certainement additionnel – composent la quantité 812, donnerait comme résultat une quantité plus importante que l’addition des nombres 4,5,7 qui selon ce même rapport composent la quantité 457, tandis que ceci n’est pas le cas. L’addition de contrôle 8+1+2=11, 1+1=2 donne un résultat inférieur au résultat de l’ addition de contrôle 4+5+7=16 , 1+6=7, malgré le fait que 812 est supérieur à 457 , et il faut reconnaître que la somme 8+1+2 au sein de 812 et la somme 4+5+7 au sein de 457, n’expriment pas le phénomène de deux accumulations donnant lieu à deux masses numériques matériellement existantes. En général donc, l’ identité quantitative qui régit les interactions opératoires entre les nombres 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 est efficace en deçà de tout phénomène de taille que ces mêmes nombres peuvent éventuellement véhiculer.
Ceci jette une lumière importante sur ce qu'à présent s'appelle le "infant's understanding of counting", et qui a étét observé pour la première fois par Piaget
Le phénomène dont Dehaene parle est donc irréductiblement celui d'UN ENFANT qui est en train de lire , et un enfant n'est ni un homme primitif , ni un cerveau, ni - nous allons le voir tout de suite - un singe.
.Le phénomène est: cet enfant qui est en trant de [apprendre à] lire, accède de la sorte aux symboles mathématiques 1,2,3... à savoir au « 1 » etc. en tant que signes/représentations capables de véhiculer l’ opération 1+1=2 et son évidence, à savoir l’énonciation explicite où implicite d’une vérité cathégorique universelle, qui pré-determine l’exclusion immédiate de toute affirmation contraire, telle 1+1=1.
Or, de même le fait temporel et matériel de la naissance de l’évidence mathématique devant l’apparat neuroperceptif d’un enfant pousse notre sensibilité évolutionniste à projeter sur ce phénomène un destin et une préhistoire onto/phylogénétiques et anatomique qui n’y appartiennent pas, de même la structure représentationnelle de ce même fait pousse à exprimer en termes de symboles et de foncteurs opératoires les racines présymboliques et prémathématiques des « tâches mentales » qui ne sont pas encore des opérations proprement dites.
On fait alors un usage très imprudent d’un symbolisme opératoire déjà déployé, pour montrer que tant des animaux que des bébés de notre espèce exécutent des « tâches mentales » évidemment liées à la quantité numérique abstraite.
Les mathématiques sont un système de signes universellement applicables, dans le sens ultime et incontournable que le signe 1 est 1 signe, et que les signes 1 et 2 sont 2 signes… car quoi qu’il en soit des objets – réels ou purement représentationnels – auxquels ils s’appliquent, les signes mathématiques essentiellement S'APPLIQUENT. Dès qu’ils apparaissent devant l’opérateur, les symboles mathématiques s’appliquent à eux-mêmes car ils s’appliquent d' eux mêmes, à tout.
Pourtant, universellement applicables ne signifie pas universellement disponibles, et le fait que le chercheur qui dispose du symbole 1 l’applique à 1 certain objet représentationnel, certianement visé par un être vivant (un singe etc.)qui montre d’accéder - car il l'applique - à ce que nous appelons le « 1 » ou « le nombre un », ne signifie pas que cet être vivant, lui-même, dispose de ce symbole pour accéder à sa propre représentation .
UN QUART de gâteau, donc, n’est donc pas par là même ¼ de gâteau , et lorsque le chercheur s’exprime ainsi, il n’utilise pas le symbole ¼ dans sons sens mathématique effectif.
La tâche du chimpanzé était simple : on le récompensait lorsqu’il choisissait, parmi deux objets, celui qui était physiquement identique à un troisième. Lorsqu’on lui présentait, par exemple, un verre à demi rempli d’un liquide bleuté, l’animal devait indiquer du doigt un autre verre également rempli à moitié , et le distinguer d’un troisième rempli aux trois quarts. Le chimpanzé maîtrisa immédiatement cette mise en correspondance sur la base de l’apparence physique On rendit alors sa tâche plus difficile. Peut-être lui présentait-on toujours un verre à moitié plein; mais il devait à présent choisir entre une demi-pomme ou trois quarts de pomme. Sur le plan de l’apparence visuelle, ces alternatives différaient tota¬lement de l’échantillon initial. Pourtant, le chimpanzé choisissait systématiquement la moitié de pomme. Il fondait apparemment sa réponse sur la similarité conceptuelle entre un demi-verre et une demi-pomme. L’expérience connut le même succès AVEC LES FRACTIONS ¼ , ½ et ¾ (Dehaene, 1997 p. 29)
Cette expérience nous fait accéder au système de représentations du singe à partir de son comportement extérieur. Dehaene parle ici de la «similarité conceptuelle» entre un demi-verre et une demi-pomme, et entre un quart de verre et un quart de gâteau, car il est indéniable que le chimpanzé dirige son comportement de choix à partir d’une représentation abstraite des grandeur numériques «une moitié» et «un quart »
Avec le segment que je place dans la bulle = le monde représentationnel du singe, je me borne à signaler, dire, énoncer la présence dans l'animal d’une représentation irréductiblement abstraite d’ un «quart» et d’une « moitié », car en tant que tel ce trait d'encre fait évidemment partie des objets concrets qu’on pourrait proposer à ce même singe à côté des verres et des gâteaux. Cette circonstance depend de la nature même de la grandeur numérique , qui tout en étant indéniablement présente dans "la bulle" du singe (dans son mode interne) résiste à toute tentative d'en donner des représentations qui ne soient que d’autres exemples concrets à côté des objets perçusà moins que nous ne prétendions que le singe sait lire dans sa propre bulle le symbole cryptogrammatique 1/4.
Or en mentionnant ce phénomène Dehaene s’exprime justement en disant que cette expérience «connut le même succès avec les fractions ¼ et ½ », et en ce sens il appliques les symboles numériques ¼ et ½ tant au monde concret des objets externes qui nous entourent - et qui entourent le singe - qu’au monde purement représentationnel et interne de l'animal. Aucune fraction n’est pourtant pas devant le chimpanzé , qui ne voit que des verres, des pommes et des gâteaux, et si le chimpanzé accède indéniablement à la représentation abstraite de la moitié, ici exemplifiée par un segment coupé en deux, avons-nous le droit de placer dans la bulle la fraction ½ à savoir de dire que lui-même il dispose des signes dont nous disposons ? Non, nous n’avons pas ce droit: pas plus que nous l’avons de mettre dans la bulle les mots « une moitié » et « un quart », en voulant signifier de la sorteque le singe est silencieusement en train de les prononcer en langage humain.
Nous ne pouvons pas dire que le singe a à faire avec des fractions, même s’il a certainement à faire avec des quantité abstraites. Voyons pourquoi.
Dans leur dernière expérience, Woodruff et Premack allèrent jusqu’à proposer au chimpanzé une combinaison de deux fractions. Lorsque l’échantillon comprenait un quart de pomme placé à côté d’un demi-verre de lait, et qu’on donnait à l’animal à choisir entre un cercle complet et trois quarts de cercle, l’animal optait pour ce dernier choix plus souvent que ne l’aurait prédit le hasard seul! Il effectuait donc une opération mentale comparable à l’addition de deux fractions : 1/4 + 1/2 = 3/4.
Considérons la suite I-II-III ci-dessous
En I nous avons en t1 les deux objets concrets perçus par le singe, et en t2 une partie de l’un et une partie de l’autre.
En II les deux premières perceptions concrètes (les deux objets) ont été transformés, par l'esprit du singe, en un seule représentation abstraite, et le rectangle rouge A (censé être dans la bulle du singe) ne représente pas un troisième objet concret mais le représentation symbolique unitaire de l’ « entier » qui dirige l’obtention des symboles des « parties » a , b et c.
En III le rectangle rouge A est devenu – suite à l'intervention de M. Dehaene – le symbole 1, le petit rectangle a est devenu le symbole ¼ , le rectangle b est devenu le symbole ½ et le rectacngle c est devenule symbole ¾ . Pourtant, même s’il est manifeste que nous pouvons appliquer les symboles des fractions ½, ¼ , ¾ au grandeurs a, b et c , la présence de ces mêmes grandeurs dans le système de représentations d’un singe capable d’accomplir ses tâches comportementales grâce à la représentation abstraite de la transformation mutuelle des rectangles A,a,b,c , ne signifie pas, en tant que telle, la présence représentationnelle des fractions ½, ¼ , ¾, car l’ exécution de l’opération mentale de fusionner des rectangles n’est pas l’opération d’addition entre deux fractions 1/4 + 1/2=3/4 . Ceci est évident : avec nos yeux mentaux, nous pouvons directement fusionner les rectangles a et b en en faisant c tandis que pour transformer ¼ et ½ en ¾ il nous faut passer par le calcul du commun dénominateur.
A la différence des deux rectangles rouges, les symboles ¼ et ½ nous obligent au passage encadré: la représentation cryptogrammatique d’un nombre impose les limitations opératoires des pairs, des impaires et des nombres premiers, qui n’existent pas au niveau de la représentation imaginative de la grandeur correspondante, dans laquelle nous passons immédiatement de la présence de deux parties à celle de leur totalité cumulative.
Une grandeur/partie donc, autant abstraite et autant nombrante qu’elle soit, n’est pas une fraction , et la "tâche mentale" de sa fusion avec une autre grandeur/partie, n’est pas une "opération mathématique" au sens propre. [cf. Les coupures des nombres]
1- PREMIERES RENCONTRES AVEC p
Comment les HOMMES DE LA PREHISTOIRE et de l'Antiquité ont-ils rencontré p ?
SANS DOUTE COMME NOUS , au détour d'un problème banal de bricolage, de jardinage ou d'artisanat : par exemple, lorsque nous cherchons à déterminer la longueur de corde nécessaire pour faire le tour d'un gros arbre , ou le coût du ruban qui décorera un chapeau ou un abatjour , ou le nombre de planches qu'il faut mettre côte à côte pour obtenir une barrique de rayon donné, ou la longueur du revêtement qu'il faut coller à la roue d'une charrette pour la protéger, ou la surface de sol que délimite un cercle tracé au cordeau, ou encore la quantité d'eau que contient un réservoir cylindrique, conique ou sphérique, etc. Ces exemples illustrent la plus merveilleuse propriété de p : il est là tout proche, partout avec son infinie profondeur mathématique . Même si nous n'aimons pas les mathématiques, même si nous cherchons à tout prix à les fuir, n nous rattrapera et elles avec. Nous ne choisissons pas de nous intéresser à p , c'est lui, que nous le voulions ou non, qui vient nous voir. Une fois qu'il s'est présenté, impossible de s'en défaire : il nous obsède et nous entraîne dans le monde fascinant de l'ordre géométrique et abstrait. [J.P.Delahaye - Le fascinant nombre p , Paris 1997]
